Jiné odvození Ciolkovského rovnice

Známe ji také jako „raketovou rovnici“ a umožňuje nám vypočítat rychlost pohybu v jednom směru získanou odhozením části vlastní hmoty do směru opačného. Tato rovnice je dobrým prvním odhadem pro potřebné množství paliva v raketě (při zanedbání např. odporu atmosféry) a jako začátečníkovi ve fyzice mi chvíli trvalo odvodit její správný tvar. Zde přispívám svým zápisem odvození společně s dalšími úvahami o tom, co nás tento problém učí o matematické fyzice.

K čemu se chceme dostat

Nejdříve zaveďme značení veličin našeho fyzikálního modelu připomenutím si obvyklého tvaru Ciolkovského rovnice za uvážení někdy opomíjených předpokladů:

v(T)=V_\mathrm{PL} \ln{\dfrac{M_\mathrm{i}}{M_\mathrm{f}}}\,, (1)

kde V_\mathrm{PL} je rychlost vycházejícího (například) plynu v klidové vztažné soustavě rakety neboli rychlost, s jakou opouští raketu „vůči raketě“. Tuto rychlost budeme uvažovat konstantní (tak se také obvykle pro raketovou rovnici uvažuje). Hmotnosti M_\mathrm{i} a M_\mathrm{f} jsou počáteční a koncová hmotnost rakety, tedy přesněji M_\mathrm{i} je hmotnost rakety i s palivem a M_\mathrm{f} je bez paliva (bylo-li veškeré palivo v rámci manévru přeměněno do emisí). Nakonec výsledné v(T) zavádíme jako velikost změny rychlosti (skalární veličina), kterou v klidové soustavě země raketa získala, splňující 3 podmínky:

  1. Vztažnou soustavu země považujeme za inerciální (tj. umíme urychlení rakety změřit bez potřeby uvážení zdánlivých sil, a tedy z našeho modelu vyřazujeme např. rotaci planety).
  2. V soustavě země si raketa po celou dobu urychlení nezměnila směr vektoru příspěvku zrychlení od daného manévru (po dobu hoření nijak nezměnila orientaci vůči stálicím).
  3. Celý manévr, tj. úbytek hmotnosti z m(0)=M_\mathrm{i}>M_\mathrm{f} na m(T)=M_\mathrm{f} trval do sledovaného momentu čas T>0\;\mathrm{s}.

K výše zmíněnému se tedy hodí také používat funkci m(\tau) jako okamžitou hmotnost rakety spolu se zbytkem paliva v čase \tau tak, že 0\;\mathrm{s}\leq\tau\leq T . Při konstantním V_\mathrm{PL} navíc předpokládáme konstantní hmotnostní úbytek \dot{m}=dm/d\tau o hodnotě -Q (Q >0\;\mathrm{kg}\!\cdot\!\mathrm{s}^{-1} ), a můžeme tím pádem psát:

M_\mathrm{f}=M_\mathrm{i}+\dot{m} T=M_\mathrm{i}-QT\,,
v(T)=V_\mathrm{PL} \ln{\dfrac{M_\mathrm{i}}{M_\mathrm{i}-QT}}\,. (2)

Možná netřeba dodávat, že samozřejmě uvažujeme nerelativistickou dynamiku, a tuto rovnici tak nelze použít pro porovnatelné rychlosti s rychlostí světla mj. z důvodu dilatace hmotnosti (pro takové úlohy hledejte např. pojem hyperbolický pohyb). V obou zmíněných vztažných soustavách díky tomu také měříme všechny hmotnosti shodné.

Odvození

Cesta, kterou se vydáme k našemu cíli, začíná u zákona zachování hybnosti, ve kterém budeme počítat s raketou před manévrem v soustavě země nehybnou. Nejdříve uvažme, na co si před odvozením dát pozor. I když můžeme z úst vypustit výrok ve tvaru: „součet hybnosti plynu a hybnosti zbytku rakety je nulový“, nemůžeme jednoduše dát do rovnosti hybnost plynu úměrnou pouze hodnotě V_\mathrm{PL} :

v(T)(M_\mathrm{i}-QT) \neq QT\,V_\mathrm{PL}\,, (3)

protože na obou stranách jsou veličiny spojené s odlišnými vztažnými soustavami. V takových situacích musíme dát pozor a zde si například uvědomit, že pokud na levé straně měřím rychlost rakety vůči zemi, měl bych taktéž na pravé straně vyjádřit rychlost plynu vůči zemi. To ale není tak jednoduché, protože jak raketa zrychluje, vůči zemi je plyn stále pomalejší a pomalejší – v okamžiku opuštění rakety má po celou dobu rychlost rakety a navíc k ní opačný vektor o velikosti V_\mathrm{PL} . Pokud tedy Qd\tau označuje infinitesimální úbytek hmoty, hybnost této hmoty v čase \tau se dá vyjádřit:

-dp_\mathrm{PL}=Q\left( V_\mathrm{PL}-v(\tau)\right) d\tau

a abychom z poslední nerovnice (3) dostali rovnost, musíme ji přepsat pomocí posledního výrazu a integrálu

\displaystyle v(T)(M_\mathrm{i}-QT)=\int_0^T Q\left( V_\mathrm{PL}-v(\tau)\right) d\tau\,, (4)

z čehož můžeme uhodnout pomocnou rovnici v separovatelném tvaru:

d\left( v(\tau)(M_\mathrm{i}-Q\tau) \right)= Q\left( V_\mathrm{PL}-v(\tau)\right) d\tau\,.

Na tuto rovnici už můžeme aplikovat standardní úpravy, které známe z řešení ODR…

\begin{matrix} dv(\tau)(M_\mathrm{i}-Q\tau) + v(\tau)d(M_\mathrm{i}-Q\tau)= Q\left( V_\mathrm{PL}-v(\tau)\right)d\tau\,, \\ \\ (M_\mathrm{i}-Q\tau)dv(\tau) - Qv(\tau)d\tau = Q\left( V_\mathrm{PL}-v(\tau)\right)d\tau\,, \\ \\ (M_\mathrm{i}-Q\tau)dv(\tau)=QV_\mathrm{PL}d\tau\,, \\ \\ dv(\tau)=\dfrac{QV_\mathrm{PL}}{M_\mathrm{i}-Q\tau}d\tau\,. \end{matrix} (5)

Konečné řešení už dostaneme jen integrací tohoto vztahu:

\displaystyle v(T)=QV_\mathrm{PL}\int_0^T\dfrac{d\tau}{M_\mathrm{i}-Q\tau}=\dfrac{QV_\mathrm{PL}}{M_\mathrm{i}}\int_0^T\dfrac{d\tau}{1-\dfrac{Q}{M_\mathrm{i}}\tau} \,.

Integrál je snadno řešitelný substitucí.

u=\dfrac{Q}{M_\mathrm{i}}\tau;\quad d\tau=\dfrac{M_\mathrm{i}}{Q}du

Z ekvivalentního neurčitého integrálu (včetně zlomku mimo něj) dostáváme výraz:

\displaystyle V_\mathrm{PL}\int\dfrac{du}{1-u}=-V_\mathrm{PL}\int\dfrac{du}{u-1}=-V_\mathrm{PL}\ln{\left| u-1 \right|}+C \,,

ze kterého po dosazení substituce, pozorování Q\tau<M_\mathrm{i} a odečtení mezí dostáváme výsledek odpovídající rovnici (2):

\begin{matrix} \displaystyle -V_\mathrm{PL}\ln{\left| u-1 \right|}=-V_\mathrm{PL}\ln{\left| \dfrac{Q}{M_\mathrm{i}}\tau-1 \right|} = +V_\mathrm{PL}\ln{\left| \dfrac{M_\mathrm{i}}{Q\tau-M_\mathrm{i}} \right|}= \\ \\ = V_\mathrm{PL}\ln{ \dfrac{M_\mathrm{i}}{M_\mathrm{i}-Q\tau} } \quad\implies\quad v(T)=V_\mathrm{PL}\left[ \ln{\dfrac{M_\mathrm{i}}{M_\mathrm{i}-Q\tau}} \right]_0^T = \\ \\ = V_\mathrm{PL}\left( \ln{\dfrac{M_\mathrm{i}}{M_\mathrm{i}-QT}}-0 \right) = V_\mathrm{PL} \ln{\dfrac{M_\mathrm{i}}{M_\mathrm{i}-QT}} \,. \end{matrix}

Ponaučení

Vidíme, že jsme k výsledku dospěli relativně snadnými úpravami přímočarou úvahou vycházející ze zákona zachování hybnosti a jeho obecnou aplikací při upamatování na odlišnost klidových vztažných soustav země a rakety. Pokud dáváme do rovnosti velikost vektorových veličin anebo přímo dvě vektorové veličiny v obvyklém fyzikálním smyslu nějakých zákonů zachování (samozřejmě mimo takový kontext nám nic nebrání porovnávat jakékoli složky jakýchkoli vektorů a souřadnic), vždy musí být obě strany rovnice transformovány na stejnou vztažnou soustavu, což z matematického hlediska zase není nic jiného než stejná soustava souřadná (ve smyslu prostoročasovém). Pokud se vám pravá strana (4) nezdá příliš transformovaná, vzpomeňte na Galileovu transformaci: čas je stejný, hmotnost je stejná, jen k rychlosti se přičítá, resp. odečítá rychlost dané soustavy (zde soustavy rakety v soustavě země: v(\tau) ).

Potom nám také může celá úloha posloužit jako ukázka toho, že některé úlohy diferenciálního počtu ve fyzice můžeme řešit převodem rovnice s integrálem a koncovou hodnotou proměnné na možná separovanou rovnici v diferenciálním tvaru.

\displaystyle ...(T)=\int_0^T ...(\tau)d\tau \quad\longrightarrow\quad d(...(\tau))=...(\tau)d\tau

Zajímavost: raketa má velikost rychlosti vůči zemi rovnou V_\mathrm{PL} v tom samém okamžiku, kdy nemá plyn žádnou rychlost vůči zemi (do té doby vůči zemi vypuštěný plyn letí opačným směrem než raketa a od té doby už stejným směrem raketu následuje, jen pomalu). Toto nastává, když se logaritmous blíží jedné:

\ln{\dfrac{M_\mathrm{i}}{M_\mathrm{f}}}=1 \quad \implies \quad m=\dfrac{1}{e}M_\mathrm{i}\quad (\doteq 37\;\%)\,.

Porovnání

V učebnicích lze také narazit na odvození Ciolkovského rovnice ze zákona zachování hybnosti. Ten však bývá zapsán obecněji, kdy je položeno obecné v(0) (nemusí být nulové), a tedy raketa na začátku už může být v nějakém pohybovém stavu (vůči laboratorní (zemské) vztažné soustavě). Zachování hybnosti tedy nemusíme vyjádřit jen „přes prostor“ (součet hybností všech prvků systému je nulový), nýbrž „přes čas“ (protože byl součet hybností po manévru nějakou konstantou, můžeme jej srovnat s hybností rakety před manévrem). O to názornější navíc může být zákon napsat jako pomocnou bilanci malých přírůstků rychlosti, přírůstků času a úbytků hmotnosti. Vhodnou limitou této bilance pak získáme derivaci rychlosti v čase a tu můžeme porovnat s výsledkem výše.

Zmíněná bilance je pro začátek jednoduchá – nalevo původní hybnost rakety s v(0) a napravo hybnost rakety se zbývajícím palivem v součtu s malým množstvím plynu, který má sice rychlost V_\mathrm{PL} vůči raketě, avšak ve vztažné soustavě levé strany musíme otočit znaménko a přičíst v(0) :

v(0)M_\mathrm{i}=(v(0)+\Delta v(0))(M_\mathrm{i}-Q\Delta\tau)+Q\Delta\tau(-V_\mathrm{PL}+v(0)) \,.

Po roznásobení ale vzápětí vidíme velkou podobnost s rovnicemi, ze kterých jsme vyšli dříve:

\begin{matrix} v(0)M_\mathrm{i}\!=\!v(0)M_\mathrm{i}\!-\!Qv(0)\Delta\tau\!+\!(M_\mathrm{i}\!-\!Q\Delta\tau)\Delta v(0)\!+\!Q\Delta\tau(-V_\mathrm{PL}\!+\!v(0))\,, \\ \\ -(M_\mathrm{i}-Q\Delta\tau)\Delta v(0)+Qv(0)\Delta\tau=+Q(-V_\mathrm{PL}+v(0))\Delta\tau\,, \\ \\ (M_\mathrm{i}-Q\Delta\tau)\Delta v(0)-Qv(0)\Delta\tau=Q(V_\mathrm{PL}-v(0))\Delta\tau \,, \\ \\ \Delta v(0)=\dfrac{QV_\mathrm{PL}}{M_\mathrm{i}-Q\Delta\tau}\Delta\tau\,. \end{matrix}

Od (5) se získaný vztah na první pohled liší především znakem změny (d nebo \Delta ), který je také ve jmenovateli. To ovšem nevadí, protože stále není derivaci ekvivalentní. Proto musíme uvažovat limitu

\displaystyle \lim_{\Delta\tau\to 0}{\dfrac{v(0+\Delta\tau)-v(0)}{\Delta\tau}}=\lim_{\Delta\tau\to 0}{\dfrac{\Delta v(0)}{\Delta\tau}}=\lim_{\Delta\tau\to 0}{ \dfrac{QV_\mathrm{PL}}{M_\mathrm{i}-Q\Delta\tau} }=\dfrac{QV_\mathrm{PL}}{M_\mathrm{i}} \,.

Zrychlení je tedy

\displaystyle \frac{dv}{d\tau}(0)=\dfrac{QV_\mathrm{PL}}{M_\mathrm{i}}

a to můžeme lehko analogicky odvodit i pro obecný čas mj. z důvodu nezávislosti M_\mathrm{i} na ostatních veličinách:

\displaystyle \frac{dv}{d\tau}(\tau)=\dfrac{QV_\mathrm{PL}}{M_\mathrm{i}-Q\tau} \,,

což odpovídá (5), čímž můžeme protentokrát článek uzavřít.

Poznámka na konec: Doufám, že čtenáři nepřišlo matoucí dávat pozor na to, že když použiji slovo rychlost, hybnost atd., myslím tím automaticky vektorovu veličinu, zatímco pro jejich skalární (kladné) ekvivalenty jsem striktně používal název velikost rychlosti, velikost hybnosti. Zrovna tak, pokud by šlo někde v rovnicích o vektorovou veličinu, náležitě bych ji označil pomocí šipky nad značkou. Všimněte si také užitečného přísného rozlišování parametrů velkými písmeny od proměnných/funkcí (malými písmeny), čehož jsem se snažil držet. Tato konvence je při častém počítání úloh užitečná.

New comment / Nový komentář